Задача на олімпіаду. Довести, що ненульова квадратна матриця має ранг 1 тоді й тільки тоді, коли вона є добутком стовпця на рядок (зліва направо).
Доведення. Нехай ненульова квадратна матриця
![\[C=\left( \begin{matrix} {{a}_{1}} \\ ... \\ {{a}_{n}} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} {{b}_{1}} & ... & {{b}_{n}} \\ \end{matrix} \right).\]](http://www.maturin.in.ua/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ae48b59d723dd0aae67123e21fe7b336_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Тоді
![\[C=\left( \begin{matrix} {{a}_{1}}{{b}_{1}} & ... & {{a}_{1}}{{b}_{n}} \\ ... & ... & ... \\ {{a}_{n}}{{b}_{1}} & ... & {{a}_{n}}{{b}_{n}} \\ \end{matrix} \right).\]](http://www.maturin.in.ua/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-99bc6060e5a6a4ece9cbc49762eb71eb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Не обмежуючи загальності, будемо вважати, що
![\[{{a}_{1}}\ne 0.\]](http://www.maturin.in.ua/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3a27a4ebd87fcb69c9ee4acd966c0942_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Тоді очевидно, що перший рядок матриці C ненульовий, причому кожний рядок її є добутком першого рядка і деякого числа. Тому ранг C дорівнює 1.
Навпаки. Нехай ранг C дорівнює 1. Тоді кожний рядок такої матриці є добутком деякого фіксованого рядка і числа. Не обмежуючи загальності, можна вважати, що це перший рядок. Тоді C має вигляд
![\[C=\left( \begin{matrix} {{b}_{1}} & {{b}_{2}} & ... & {{b}_{n}} \\ {{a}_{2}}{{b}_{1}} & {{a}_{2}}{{b}_{2}} & ... & {{a}_{2}}{{b}_{n}} \\ ... & ... & ... & ... \\ {{a}_{n}}{{b}_{1}} & {{a}_{n}}{{b}_{2}} & ... & {{a}_{n}}{{b}_{n}} \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1 \\ {{a}_{2}} \\ ... \\ {{a}_{n}} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} {{b}_{1}} & {{b}_{2}} & ... & {{b}_{n}} \\ \end{matrix} \right).\]](http://www.maturin.in.ua/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6d6398b86380d45698ad3c4218294fb9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")